1. MEDIA ARITMÉTICA
Es aquella medida destinada a reducir un conjunto de datos, siendo juzgados n elementos con un mismo valor.
Esta medida se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
X = Suma de todos los valores = x1 + x2 + x3 + … + xn
Número total de datos n
Ejemplo :
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos)
X | = | 4 + 7 + 7 + 2 + 5 + 3 | = | 28 | = | 4,8 |
6 | 6 |
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
2. MEDIANA
Es aquel dato que es superado y a la vez supera en igual cantidad de número en un conjunto de observaciones.
Es una medida de posición. Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo :
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:
1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
3. MODA
Es definida como aquel valor de la variable que más se repite, es decir tiene la máxima frecuencia de distribución.
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.
Ejemplo :
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
MEDIDAS DE DISPERCIÓN
X 
X
X
X
s2 = (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + … + (Xn – X)2 s2 = (X1 – X)2f1 + (X2 – X)2f2 + … + (Xn – X)2fn
MEDIDAS DE DISPERCIÓN
Estas nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
1. RANGO
Es la medida primaria entre un conjunto de datos dispersos. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
2. DESVIACIÓN MEDIA
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por D_
X
_ _ _
D_ = | X1 – X | + | X2 – X | + … + | Xn – X |
X N
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
D_ = 9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9 + 18 = 9
X 8
D_ = | 9 – 9 | + | 3 – 9 | + | 8 – 9 | + | 8 – 9 | + | 9 – 9 | + | 8 – 9 | + | 9 – 9 | + | 18 – 9 |
X 8
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
_ _ _
D_ = | X1 – X |f1 + | X2 – X | f2 + … + | Xn – X | fn
X N
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
| | xi | fi | xi · fi | |x - x| | |x - x| · fi |
| [10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 9.286 | 27.858 |
| [15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 4.286 | 21.43 |
| [20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 0.714 | 4.998 |
| [25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 5.714 | 22.856 |
| [30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 10.174 | 21.428 |
| | | 21 | 457.5 | | 98.57 |
_
X = 457.5 / 21 = 21.786
D_ = 98.57 / 21 = 4.69
X
3. VARIANZA
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por s2.
_ _ _
s2 = (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + … + (Xn – X)2 N
Varianza para datos agrupados
_ _ _
s2 = (X1 – X)2f1 + (X2 – X)2f2 + … + (Xn – X)2fn N
4. Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.
_ _ _
s = Ö (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + … + (Xn – X)2 / N
Desviación típica para datos agrupados
_ _ _
s = Ö (X1 – X)2f1 + (X2 – X)2f2 + … + (Xn – X)2fn / N
Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
| | xi | fi | xi · fi | xi2 · fi |
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
| [30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
| [50, 60) | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
| [60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
| | | 42 | 1 820 | 88 050 |
Fuente: “Medidas de Dispersión” Disponible en http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EstadisticaMediaMedianaModa.htm
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