Prueba de Ajuste de Bondad Chi Cuadrada

De los datos obtenidos en una experimentación, a veces es necesario conocer el tipo de distribución a la cual se ajustan adecuadamente (normal, binomial o de Poisson). Así, el investigador podrá también elegir el procedimiento estadístico más adecuado. Al respecto, es válido el ejemplo siguiente:

Ejemplo:

Ajuste de datos para una distribución normal, de un conjunto de mediciones en la tabla de niños de 5 años. Tamaño de la muestra 100.

Elección de la prueba estadística.
El modelo experimental tiene una muestra y nuestro objetivo es la bondad del ajuste.

Planteamiento de la hipótesis.

• Hipótesis alterna (Ha). Las frecuencias observadas difieren de las que corresponden a una distribución normal.
• Hipótesis nula (Ho). Las diferencias observadas entre los valores observados y los teóricos se deben al azar.

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Talla de niños de 5 años de edad.

Series de Clases de Talla (cm)	Frecuencia Observada
De 90 a 93	8
De 94 a 97	18
De 98 a 101	42
De 102 a 105	27
De 106 a 109	8
Total	100

Aplicación de la prueba estadística.
Para calcular el valor teórico, se debe aplicar el valor Z; por lo tanto, primero se debe obtener el valor promedio y la desviación estándar de los valores por ajustar.

_

X = 100.1
s = 3.91

En seguida se determinan los límites reales de cada clase y se calcula el valor Z para cada límite real.

Z (90 CM) =	90 - 100.1	=	-2.58
	3.91
Z (93 CM) =	93 - 100.1	=	-1.82
	3.91
Z (97 CM) =	97 - 100.1	=	-0.79
	3.91
Z (101 CM) =	101 - 100.1	=	0.23
	3.91
Z (105 CM) =	105 - 100.1	=	1.25
	3.91
Z (109 CM) =	109 - 92.2	=	2.27
	2.85

Para cada valor de Z, se localiza el valor del área bajo la curva de valores Z.

Obtención de valores teóricos de la distribución normal.

Series  de Talla	Límites Reales	Z para límites	Área bajo la curva Z	Área para cada clase	Frecuencia teórica	Frecuencia Observada
	90	2.58	0.4951
De 90 a 93	93	1.82	0.4656	0.0295	3	8
De 94 a 97	97	0.79	0.2852	0.1804	18	18
De 98 a 101	101	0.23	0.091	0.3762	38	42
De 102 a 105	105	1.25	0.3944	0.3034	30	27
De 106 a 109	109	2.27	0.4884	0.094	9	8

Una vez anotados los valores del área bajo la curva normal para cada Z, se calcula el área que corresponde a cada talla. Para fines prácticos y a fin de ejecutar el procedimiento, el signo de Z se mantiene en el valor del área bajo la curva, y se realiza de la manera siguiente:

Clase 90 - 93 = -0.4656 - (-0.4951) = 0.0295
Clase 94 - 97 = -0.2852 - (-0.4656) = 0.1804
Clase 98 - 101 = 0.091 - (-0.2852) = 0.3762
Clase 102 - 105 = 0.3944 - 0.091 = 0.3034
Clase 106 - 109 = 0.4884 - 0.3944 = 0.094

Cada valor del área para la curva de clase se multiplica por el tamaño de la muestra (N); en este caso corresponde a 100. Para obtener los valores teóricos, se selecciona el valor entero más cercano.

En seguida se aplica la ecuación de X².

X² = S^H_{N = 1} (fo – fe)²

                       fe

X² = S (5 – 3)² + (18 – 18)² + (42 – 38)² + (27 – 30)² + (8 – 9)²

               3               18                38                30               9

X² = S 1.333 + 0 + 0.105 + (-0.1) + (-0.111) = 1.227

Cálculo de los grados de libertad.
gl = K - 1 - 1 = 5 - 1 - 1 = 3

El valor de X² calculado con 3 gl se compara con los respectivos valores críticos de la tabla de valores críticos de X² y corresponde a 7.82 para una probabilidad de 0.05.

Decisión.
En virtud de que el valor calculado cae en la zona de rechazo, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.
Los valores de las frecuencias observadas para las cinco series de talla tienen una distribución normal y no difiere de los valores calculados en función de las áreas bajo la curva normal tipificada.

TABLA DE VALORES N # 2 (CHI²)

	Probabilidad de un valor superior - Alfa (α)
Grados libertad	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005
1	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
2	4,61	5,99	7,38	9,21	10,6
3	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84
4	7,78	9,49	11,14	13,28	14,86
5	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75
6	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55
7	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28
8	13,36	15,51	17,53	20,09	21,95
9	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59
10	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19
11	17,28	19,68	21,92	24,73	26,76
12	18,55	21,03	23,34	26,22	28,3
13	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82
14	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32
15	22,31	25	27,49	30,58	32,8
16	23,54	26,3	28,85	32	34,27
17	24,77	27,59	30,19	33,41	35,72
18	25,99	28,87	31,53	34,81	37,16
19	27,2	30,14	32,85	36,19	38,58
20	28,41	31,41	34,17	37,57	40
21	29,62	32,67	35,48	38,93	41,4
22	30,81	33,92	36,78	40,29	42,8
23	32,01	35,17	38,08	41,64	44,18
24	33,2	36,42	39,36	42,98	45,56
25	34,38	37,65	40,65	44,31	46,93
26	35,56	38,89	41,92	45,64	48,29
27	36,74	40,11	43,19	46,96	49,65
28	37,92	41,34	44,46	48,28	50,99
29	39,09	42,56	45,72	49,59	52,34
30	40,26	43,77	46,98	50,89	53,67
40	51,81	55,76	59,34	63,69	66,77
50	63,17	67,5	71,42	76,15	79,49
60	74,4	79,08	83,3	88,38	91,95
70	85,53	90,53	95,02	100,43	104,21
80	96,58	101,88	106,63	112,33	116,32
90	107,57	113,15	118,14	124,12	128,3
100	118,5	124,34	129,56	135,81	140,17

  

VIDEO APLICATIVO:
http://www.youtube.com/watch?v=5ONgkUwriKc

Fuente: “Prueba de bondad de ajuste mediante ji cuadrada”  disponible en “FortuneCity” http://members.fortunecity.com/bucker4/estadistica/pruebabondadaji.htm